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Sunday, November 27, 2016

Si ayer fuera mañana, hoy sería viernes.

Hace unos días escuché a un amigo decir: "Si ayer fuera mañana, hoy sería viernes" y la pregunta entonces: ¿En qué día de la semana se dijo el comentario, asumiendo que mi amigo dice verdad?
Si suponemos que el día que se dijo la frase es hoy, la frase en cuestión es la siguiente:
"Si ayer fuera mañana, hoy sería viernes. ¿Qué día es hoy?"

Evidentemente la pregunta se refiere a que qué día es hoy, si la frase que le precede es verdadera. En todo caso eso es lo que deberíamos entender para no trivializar el problema.

Para facilitar el análisis asociemos a cada día de la semana un número en orden consecutivo de tal manera que el 1 sea el Lunes y el 7 el domingo. Con esta convención el día viernes corresponde con el 5. Además asumiremos que si sumo un día al domingo llegaremos al lunes, es decir que 7+1 = 8=1 y análogamente que si al lunes le restamos un día llegamos al domingo, es decir que 1-1=0=7. Es decir estamos sumando cíclicamente o como nos gusta decir a los matemáticos, estamos sumando 'módulo 7'. Así, por ejemplo, El 4+6 (que corresponde al jueves sumarle 4 días) representa el 3 (es decir el miércoles), es decir 4+6=3.

Una vez acordado esto proseguimos an análisis del problema.

Denotemos por $H$  a el día de hoy, es decir al día en que el supuesto interlocutor lanza la pregunta. En otras palabras, H denota el día que la frase "Si ayer fuera mañana, hoy sería viernes" se hace verdadera.Lo que queremos argumentar es que $ H$ puede ser el domingo o el miércoles y nada más. Es decir, queremos demostrar que $ H$ es el 3 o el 7 ¿De acuerdo?

Lo primero que tenemos que identificar son los distintos tiempos. 'El tiempo de facto' que es el tiempo real en el que el vive el supuesto interlocutor que lanza la pregunta. El interlocutor lanza la pregunta el día $ H$. Así para el interlocutor tenemos el día de mañana de facto, que dentaremos por $ M$ y el día de ayer de facto que denotaremos por $ A$ (los días de facto con mayúsculas). El otro tiempo es 'El tiempo hipotético' del interlocutor. El día de hoy hipotético es el viernes de acuerdo a la frase y pregunta que lanza el interlocutor. Si denotamos con letras minúsculas $ h,m,a$ al día de hoy, mañana y ayer hipotéticos entonces tenemos que $ h=5$ (pues sería el viernes).

Una vez identificados nuestros tiempos de facto e hipotéticos y sus correspondientes letras pasaos a traducir la frase.

"Si ayer fuera mañana" se puede interpretar de 4 formas posibles 2 de las cuales son claramente imposibles, dejando sólo dos formas viables:
1) $ a = M$ (si ayer fuera mañana, interpretado a ayer hipotético y el mañana de facto).

2) $ A = m $ , si ayer fuera mañana interpretado ayer como el ayer de facto y al mañana hipotético.

3) $ A= M $ , interpretado el ayer y el mañana de facto. Lo cual es imposible, es decir no es posible que ayer sea mañana.

4) $ a=m $ , interpretando al ayer y al mañana hipotético. Lo cual también es imposible pues suponer que ayer es al mismo tiempo mañana no tiene sentido, ni aunque sea hipotético.

Así los únicos casos viables son el 1) y 2). Por lo tanto habrá cuando mucho 2 soluciones posibles. Veremos a continuación que ambos casos dan soluciones posibles.

Caso 1) $ a = M $ . La continuación del problema dice entonces que si $ a=M $  entonces hoy es viernes, es decir si $ a = M $  entonces $ h = 5$. Pero $ a = h-1 $  por lo que $ a =4 $  (es decir ayer hipotético es jueves) pero por hipótesis $ a = M $  ($ a = M$), entonces el Mañana de facto es jueves es decir el Hoy de facto $ H = M-1 = 4-3 = 3$, es decir el hoy de facto es miércoles. Esta es la primera solución posible.

Caso 2) $ A = m$. La continuación del problema dice que $ h=5$. pero $ m=h+1 = 6$ es decir el mañana hipotético es sábado. Pero $ A= m$ entonces $  A = 6$ que significa que el ayer de facto es sábado, esto quiere decir que el hoy de facto, es decir $ H = A+1 = 6+1 =7$ corresponde al domingo. Que es la otra solución.

Por lo tanto hay exactamente dos soluciones, una correspondiente al miércoles y que se desprende de suponer que el mañana de facto es igual al ayer hipotético y la otra que corresponde al domingo que sale de suponer que el ayer de facto es igual al mañana hipotético.

La otra opción de solución es hacer un análisis exhaustivo suponiendo que el día $ H$ es el lunes y ver las consecuencias, luego el martes, luego el miércoles y así hasta llegar al domingo. Por ejemplo si $ H$ es 1, es decir si el día de facto es el lunes entonces ayer es domingo (ayer de facto) y si ayer fuera mañana entonces mañana (mañana hipotético) sería domingo, es decir hoy (hoy hipotético) sería lunes (que no es viernes). O bien si $ H$ es lunes entonces mañana es martes y si ayer fuera mañana ayer sería martes lo que dice que sería miércoles (que no es viernes). Por lo tanto suponer que hoy es lunes no hace verdadera la frase completa. Y así sucesivamente....

Thursday, June 30, 2016

GAGA y Geometría Analítica Rígida

(una invitación a la geometría algebraica p-ádica) 


En geometría algebraica tradicional (de variedades definidas sobre el campo de los números complejos) tenemos que la geometría compleja es una herramienta de gran importancia, especialmente por el poder que brindan los teoremas de Serre llamados ``GAGA'', que establecen una  estrecha relación entre las variedades algebraicas complejas y las variedades complejas (complex manifolds) y entre sus funciones (entre sus respectivas gavillas de funciones).  


En geometría aritmética (que en pocas palabras es el estudio de problemas que provienen de teoría de números usando geometría algebraica), al trabajar con variedades algebraicas definidas sobre campos arbitrarios (por ejemplo campos de característica p > 0 o característica mixta), nos gustaría poder contar con una herramienta similar a la geometría compleja en donde podamos relacionar a las variedades algebraicas, objetos geométricos ``más manejables''; en particular en donde tengamos una buena teoría de ``funciones analíticas'' tal como pasa en el caso complejo.  Concretamente nos gustaría tener una teoría análoga para variedades definidas sobre campos que son completos respecto a una métrica, por ejemplo el campo de los números p-ádicos $\mathbb Q_p$ o el campo de series de Laurent con coeficientes en un campo finito $\mathbb F_p((t))$ o más generalmente, para campos locales. 

En un principio, la geometría rígida fue concebida como un intento de construir una versión \emph{no arquimedeana} de la geometría analítica compleja, pero para campos no-arquimedianos (como los números p-ádicos $\mathbb Q_p$). De hecho, su origen se debe a Tate (1960) que al estudiar curvas elípticas sobre campos no-aquimedeanos, quería dar una teoría general de funciones analíticas sobre estos campos que le permitiera ``uniformizar'' dichas curvas de manera análoga a la uniformización compleja de variedades abelianas. Sin embargo, en el curso de su desarrollo de la teoría, la geometría rígida se ha dotado de estructuras muy ricas que han demostrado tener gran potencial para ciertas aplicaciones, al grado de que en la actualidad la teoría es de gran importancia en la Geometría Aritmética. Como ejemplo de dichas aplicaciones mencionaré algunas: La prueba de la conjetura de Langlands para $GL_n$, la solución de la conjetura De Abhanskar referente grupos fundamentales en característica positiva, el trabajo de Kisin en la modularidad de representaciones de Galois y el reciente e importante trabajo de Sholoze sobe espacios perfectoides y teoría p-ádica de Hodge. 

En este curso abordaremos las bases de la geometría rígida desde el punto de vista clásico. El objetivo fundamental de este minicurso, además de presentar a los estudiantes esta bonita y fructífera rama de la geometría aritmética, será la de presentar los análogos a los teoremas GAGA de Serre. Si el tiempo lo permite se abordará el problema de uniformización en variedades abelianas. Para esto recordaremos lo que dicen dichos teoremas en el caso complejo y desarrollaremos la teoría y conceptos necesarios para sus análogos no-arquimedianos. 

Este curso está pensado para estudiantes al final de la licenciatura y de posgrado. Se tratará de explicar las ideas generales y presentando sólo las pruebas que son ilustrativas en el desarrollo de la teoría. El curso será pues, una invitación al estudio de la geometría analítica rígida y a la geometría aritmética en general. Se supondrá que el estudiante conoce los conceptos básicos de geometría algebraica y no más (aunque sería bueno si se ha oído hablar de esquemas con anterioridad). 


Saturday, June 25, 2016

Thursday, June 23, 2016

Sunday, January 19, 2014