¿Las matemáticas se inventan o se descubren?

La respuesta corta que yo doy a esta pregunta es la siguiente:

"Las matemáticas se crean y se descubren. Las dos cosas pasan."

Ahora intentaré justificar tal afirmación trabajando con un ejemplo sencillo. Los números.

Un día inventamos (o se inventaron) los números naturales, posiblemente por la necesidad de contar y como consecuencia de observar el mundo que nos rodea, pero un invento a fin de cuentas y que seguramente no se dio de un día para otro. Junto con los números tenemos sus operaciones de suma y multiplicación.

Dado un número cualquiera, nos podemos preguntar: ¿es este número producto de otros dos números? por ejemplo, el 10 es producto del 5 y del 2. Se observó entonces que había números particulares, los que sólo se pueden escribir como producto de ellos y el uno. El 7 es uno de ellos: la única forma de escribirlo como un producto de otros dos números naturales es 7x1 o 1x7. Esto, por trivial que parezca, es ya un descubrimiento. Nosotros sólo inventamos los números y la manera de operarlos, pero el hecho de que existan números que sólo se faectorizan trivialmente es un descubrimiento que no inventamos. Estos números fueron bautizados con el nombre de números primos. Luego nos podemos preguntar que cuántos de estos números hay: ¿habrá sólo un número finito de números primos? haciendo investigación, se descubrió que de hecho hay una infinidad de números primos, y el hecho que haya una infinidad de primos NO es un invento. Existen varias demostraciones de esto.

Para aclarar mejor el punto inventemos un juego:

1) Tomemos los números del 1 al 12 y sólo estos números.

2) En vez de la suma usual, sumémoslos como en un reloj: es decir 5+11 = 4 (porque en un reloj, si son las 5 y pasan 11 horas, el reloj marcará las 4).

3) De igual manera puedo definir una multiplicación que sea similar en concepto a lo que hace la multiplicación usual, es decir que la multiplicación nos indique el número de veces que sumamos: 4x 5 = 5+5+5 +5 (sumamos 4 veces el 5 con la suma del reloj), así 4x5 = 8. Notemos que: 4x 5 = 4+4+4+4+4 y si el reloj marcan las 4 y pasan otras 4 horas entonces el reloj marca las 8 y si luego pasan otras 4 el reloj marca las 12 y si luego pasan otras cuatro el reloj marca las 4 y si pasan otras cuanto el reloj marca las 8.

4) Este es nuestro juego: te doy dos números al azar y tú me respondes el valor de su suma y su producto con las reglas de operación que hemos definido: 7x 3= ? 6+8= ?

Es un juego y no sabemos nada más que la manera de operarlos. Hemos inventado una manera de operar ciertos números.

5) Tengo ahora una pregunta: ¿existen aquí números como los primos? es decir, que sólo se escriban como producto del uno y ellos mismos? ¿Si? ¿no?

Es algo que por lo pronto no sabemos, y que no es directo de las reglas de suma y multiplicación que hemos definido. Si respondes a la pregunta anterior, ya sea afirmativa o negativamente, después de estar jugando un rato o de pensar un poco y llegas a una conclusión, entonces estarás descubriendo algo, algo nuevo que tú no inventaste. Algo que se deduce de tu invento, pero que no sabías a priori.

Así como he presentado las cosas, pareciera que en última instancia primero se inventa y luego se descubre, sospecho que tampoco es necesariamente así. Nosotros ponemos nombre a las cosas que vemos y/o entendemos, a los patrones que encontramos. La invención de los números y sus reglas de operación resultan de la combinación de nuestras necesidades y la abstracción de ellas. Pareciera que los números ya estaban ahí esperando a que nosotros simplemente los bautizáramos como números naturales, como si simplemente los hubiéramos descubierto. Así como una montaña o un planeta existe antes de que sea observado. Después de todo los conjuntos de cosas y objetos estaban ahí y la cantidad de objetos que tiene un grupo o conjunto parece ser algo inherente al conjunto. Los números son justamente esa característica que tienen los conjuntos que nos permite empatar a dos de ellos (su cardinalidad). Así que ese proceso de abstracción de lo que observamos o entendemos nos lleva a inventar cosas que pareciera que sólo hacía falta descubrir o que tal vez estemos en realidad descubriendo y nombrando. En cualquier caso, una vez creado o descubierto un concepto o una teoría matemática hay cosas que descubrir que no inventamos, tal como pasó con los números primos. ¿Y entonces, en primera instancia qué paso? Pues yo digo que las dos, las dos cosas pasaron y no veo una razón para ordenarlas, pasaron al mismo tiempo, una con otra o una entre la otra, y no pasa nada si no tienen un orden, pero eso sí, las dos pasan: la matemática se crea y se descubre.