GAGA y Geometría Analítica Rígida
(una invitación a la geometría algebraica p-ádica)
En geometría algebraica tradicional (de variedades definidas sobre el campo de los números complejos) tenemos que la geometría compleja es una herramienta de gran importancia, especialmente por el poder que brindan los teoremas de Serre llamados ``GAGA'', que establecen una estrecha relación entre las variedades algebraicas complejas y las variedades complejas (complex manifolds) y entre sus funciones (entre sus respectivas gavillas de funciones).
En geometría aritmética (que en pocas palabras es el estudio de problemas que provienen de teoría de números usando geometría algebraica), al trabajar con variedades algebraicas definidas sobre campos arbitrarios (por ejemplo campos de característica p > 0 o característica mixta), nos gustaría poder contar con una herramienta similar a la geometría compleja en donde podamos relacionar a las variedades algebraicas, objetos geométricos ``más manejables''; en particular en donde tengamos una buena teoría de ``funciones analíticas'' tal como pasa en el caso complejo. Concretamente nos gustaría tener una teoría análoga para variedades definidas sobre campos que son completos respecto a una métrica, por ejemplo el campo de los números p-ádicos $\mathbb Q_p$ o el campo de series de Laurent con coeficientes en un campo finito $\mathbb F_p((t))$ o más generalmente, para campos locales.
En un principio, la geometría rígida fue concebida como un intento de construir una versión \emph{no arquimedeana} de la geometría analítica compleja, pero para campos no-arquimedianos (como los números p-ádicos $\mathbb Q_p$). De hecho, su origen se debe a Tate (1960) que al estudiar curvas elípticas sobre campos no-aquimedeanos, quería dar una teoría general de funciones analíticas sobre estos campos que le permitiera ``uniformizar'' dichas curvas de manera análoga a la uniformización compleja de variedades abelianas. Sin embargo, en el curso de su desarrollo de la teoría, la geometría rígida se ha dotado de estructuras muy ricas que han demostrado tener gran potencial para ciertas aplicaciones, al grado de que en la actualidad la teoría es de gran importancia en la Geometría Aritmética. Como ejemplo de dichas aplicaciones mencionaré algunas: La prueba de la conjetura de Langlands para $GL_n$, la solución de la conjetura De Abhanskar referente grupos fundamentales en característica positiva, el trabajo de Kisin en la modularidad de representaciones de Galois y el reciente e importante trabajo de Sholoze sobe espacios perfectoides y teoría p-ádica de Hodge.
En este curso abordaremos las bases de la geometría rígida desde el punto de vista clásico. El objetivo fundamental de este minicurso, además de presentar a los estudiantes esta bonita y fructífera rama de la geometría aritmética, será la de presentar los análogos a los teoremas GAGA de Serre. Si el tiempo lo permite se abordará el problema de uniformización en variedades abelianas. Para esto recordaremos lo que dicen dichos teoremas en el caso complejo y desarrollaremos la teoría y conceptos necesarios para sus análogos no-arquimedianos.
Este curso está pensado para estudiantes al final de la licenciatura y de posgrado. Se tratará de explicar las ideas generales y presentando sólo las pruebas que son ilustrativas en el desarrollo de la teoría. El curso será pues, una invitación al estudio de la geometría analítica rígida y a la geometría aritmética en general. Se supondrá que el estudiante conoce los conceptos básicos de geometría algebraica y no más (aunque sería bueno si se ha oído hablar de esquemas con anterioridad).
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